定义
插值和拟合：
曲线拟合是指您拥有散点数据集并找到最适合数据一般形状的线（或曲线）。
插值是指您有两个数据点并想知道两者之间的值是什么。中间的一半是他们的平均值，但如果你只想知道两者之间的四分之一，你必须插值。
拟合
我们着手写一个线性方程图的拟合：
y=3x^3+2x^2+x+2
首先我们生成一组数据来分析：
x=-5:0.5:5;e=50*rand(1,length(x))-25;%制造[-25,25]的随机数作为误差y=3*x.^3+2*x.^2+x+2+e;%得到y值plot(x,y,'.')
x = Columns 1 through 6 -5.0000 -4.5000 -4.0000 -3.5000 -3.0000 -2.5000 Columns 7 through 12 -2.0000 -1.5000 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 Columns 13 through 18 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 Columns 19 through 21 4.0000 4.5000 5.0000y = Columns 1 through 6 -350.0110 -248.6360 -169.3421 -89.5653 -88.2298 -57.7238 Columns 7 through 12 -32.5505 2.3308 11.5861 9.0123 -0.4538 5.7254 Columns 13 through 18 -2.1840 30.3596 20.4478 73.2138 88.1756 152.0492 Columns 19 through 21 236.2809 334.3864 411.0563
这时候x,y作为已知数据存在，要求我们拟合x,y的散点图，这时候会用到这个函数。
语法
p = polyfit(x,y,n)
[p,S] = polyfit(x,y,n)[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)
说明
p = polyfit(x,y,n) 返回阶数为 n 的多项式 p(x) 的系数，该阶数是 y 中数据的最佳拟合（在最小二乘方式中）。p 中的系数按降幂排列，p 的长度为 n+1
[p,S] = polyfit(x,y,n) 还返回一个结构体 S，后者可用作 polyval 的输入来获取误差估计值。
[p,S,mu] = polyfit(x,y,n) 还返回 mu，后者是一个二元素向量，包含中心化值和缩放值。mu(1) 是 mean(x)，mu(2) 是 std(x)。使用这些值时，polyfit 将 x 的中心置于零值处并缩放为具有单位标准差
plot(x,y,'.')%已知数据的散点图hold ond=polyfit(x,y,2);%进行线性拟合，假设函数为二次函数y1=d(1)*x.^2+d(2)*x+d(3);plot(x,y1)//绘制猜测的函数
明显不符合，我们继续猜测
plot(x,y,'.')hold ond=polyfit(x,y,3);y1=d(1)*x.^3+d(2)*x.^2+d(3)*x+d(4);plot(x,y1)
拟合成功。
插值
一维插值
以上面的数据为例子
x=-5:0.5:5;e=50*rand(1,length(x))-25;%制造[-25,25]的随机数作为误差y=3*x.^3+2*x.^2+x+2+e;%得到y值%插值x2=-5:0.1:5;y2=interp1(x,y,'x2,'spline');plot(x2,y2,'r+')
二维插值
语法
[X,Y] = meshgrid(x,y)
[X,Y] = meshgrid(x)
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z)
[X,Y,Z] = meshgrid(x)
说明
[X,Y] = meshgrid(x,y) 基于向量 x 和 y 中包含的坐标返回二维网格坐标。X 是一个矩阵，每一行是 x 的一个副本；Y 也是一个矩阵，每一列是 y 的一个副本。坐标 X 和 Y 表示的网格有 length(y) 个行和 length(x) 个列。
[X,Y] = meshgrid(x) 与 [X,Y] = meshgrid(x,x) 相同，并返回网格大小为 length(x)×length(x) 的方形网格坐标。
[X,Y,Z] = meshgrid(x,y,z) 返回由向量 x、y 和 z 定义的三维网格坐标。X、Y 和 Z 表示的网格的大小为 length(y)×length(x)×length(z)。
[X,Y,Z] = meshgrid(x) 与 [X,Y,Z] = meshgrid(x,x,x) 相同，并返回网格大小为 length(x)×length(x)×length(x) 的三维网格坐标。
我们先绘制一个三维的图像
[x,y]=meshgrid(-5:1:5,-10:2:10);z=12-x.^3-y.^3;surf(x,y,z)
给人的感觉是很“粗糙”的，这时候我们使用插值，增加数据。
[x0,y0]=meshgrid(-5:0.2:5,-10:0.4:10);z0=interp2(x,y,z,x0,y0,'spline');surf(x0,y0,z0)
问题
1、已知以下实验测量数据，
|
| 1 | 1.5 | 2.5 | 3 | 4.5 |
|
| -0.86 | 13.66 | 90.25 | 152.57 | 473.70 |
（1）请画出以上数据的散点图；
（2）请用合适的多项式拟合上述数据；
（3）请用三次样条一次插值以上数据.
2、已知网格化数据如下：
|
| -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 |
| -2 | 1.77 | 1.12 | 0.32 | 0.44 | -2.35 |
| -1 | 1.62 | 1.29 | 0.94 | -1.49 | -0.78 |
| 0 | 0.23 | -1.01 | -0.74 | 1.08 | -0.13 |
| 1 | -0.61 | -0.41 | -0.63 | -0.05 | 1.44 |
| 2 | -2.94 | -0.22 | 0.56 | 0.17 | 1.73 |
请用三次样条二次插值法插出更光滑精细的曲面.
答案
%1-(1)clc,clearx=[1 1.5 2.5 3 4.5];y=[-0.86 13.66 90.25 152.57 473.70];plot(x,y,'.');%1-(2)d=polyfit(x,y,1);y1=d(1)*x+d(2);plot(x,y,'.');plot(x,y1);%对比线性图与散点图，发现不匹配d=polyfit(x,y,2);y1=d(2)*x.^2+d(2)*x+d(3);plot(x,y,'.');plot(x,y1);%对比线性图与散点图，发现匹配成功，拟合完成%1-(3)x=[1 1.5 2.5 3 4.5];y=[-0.86 13.66 90.25 152.57 473.70];x1=[1:0.1:4.5];y1=interp1(x,y,x1,'spline');plot(x,y,x1,y1);%2[x1,y1]=meshgrid(-2:1:2,-1:0.5:1);z1=[1.77 1.21 0.32 0.44 -2.35;1.62 1.29 0.94 -1.49 -0.78;0.23 -1.01 -0.74 1.08 -0.13;...-0.61 -0.41 -0.63 -0.05 1.44;-2.94 -0.22 0.56 0.17 1.73];surf(x1,y1,z1)[x,y]=meshgrid(-1:0.1:1, -2:0.2:2);z=interp2(x1,y1,z1,x,y,'spline');surf(x,y,z)